f distribution

🤠 저번 시간에 총 두 개의 분포 student's t-distribution & 𝜒2 distribution에 대해서 배웠다 (z-distribution과 더불어!)

 

🧚🏾‍♂️ student's t-distribution

distribution≫ Student's t-distribution (in-depth)

 

🧚🏾‍♂️ 𝜒2 distribution

𝜒2 distribution + One-Sample 𝜒2 test

* 개념>

🤠 이젠 ANOVA에서 사용한 f-statistics ≪F 분포≫에 대해 알아보려 한다!

(★ 2개 이상의 표본평균들이 동일한 모평균을 가진 집단에서 추출되었는 지 서로 다른 모집단에서 추출되었는 지 판단할 때 사용!

- 즉 두 개 이상의 표본집단의 분산 비교 시 많이 사용! - 그래서 ANOVA에 사용됨)

 

🥤 요약하자면, 두 카이제곱 분포에서 각각 랜덤으로 확률변수를 뽑아 계산된게 F분포

(즉, 정규분포를 이루는 모집단에서 독립적으로 추출한 표본들의 분산비율(비율인 이유는 한 분산을 다른 분산으로 나누므로)이 나타내는 연속확률분포)

 

① 자유도가 k1인 카이제곱확률변수 U~𝜒2[k1]

② 자유도가 k2인 카이제곱확률변수 V~𝜒2[k2] (이 때, U와 V는 서로 독립! - 가정)

③ X = (U/k1)/(V/k2)이 따르는 분포를 자유도가 k1, k2인 F분포라고 정의한다!

 

- F분포 식(probability of density function) -

X~F[k1, k2]

(두 개의 non-negative quantities (카이제곱확률변수)에 관한 식이므로 x는 항상 non-negative)

 

 

④ 해당 F분포의 모수는 각각 두 카이제곱분포 자유도 k1, k2를 알면 된다

 

⑤ 특성치 (X~F[k1,k2])

→ E[X] = (k2)/(k2-2) (for k2 > 2)

→ V[X] = 2k2^2(k1+k2-2) / (k1)(k2-2)^2(k2-4)

 

⑥ F분포 확률밀도함수 개형 = 카이제곱분포처럼 오른쪽으로 치우친 비대칭 구조 (양의 왜도 - right-skewed)

→ 아래 그림과 같이 k2와 k1이 증가함에 따라 정규분포에 가까운 모양을 띈다

 

⑦ 분위수

→ X~F[k1, k2]일 때, P[X>c] = α를 만족하는 X의 (1-α)분위수 c를 Fα,k1,k2로 표기 (오른꼬리검정)

→ 아래와 같이 당연히 자유도가 증가할 수록, 제곱합 항 갯수가 증가한다는 뜻이므로 정규분포에 가까운 모양을 보임!

 

(왼) F분포 개형 / (오) 분위수 면적 그래프

 

 

🟢 ANOVA에서는 X = MSTR/MSE로 놓고(F값), MSE는 일정한 상태에서 MSTR이 커지는 오른방향으로 검정을 하였음!

 

ANOVA & (One-Way ANOVA + w/code)

 

🟢 추가적으로 회귀에서도 F값이 쓰인다. 추후 알아보za 😚

(+추가) F-분포 개형 자세히>

》 분자에 오는 자유도와 분모에 오는 자유도가 서로 바뀌면 개형도 바뀜 (k1인지 k2인지 종류에 따라 분포모양 영향 받음)

》 분포의 평균은 (k2)/(k2-2)이므로 k1과 k2가 모두 20인 F-분포의 경우 평균은 20/18로 1에 가깝다

》 분포의 median 역시 자유도에 영향을 받는다 (k1과 k2가 서로 같다면 median은 정확히 1이 됨!)

 

 

🚶🏾‍♂️ F-분포 개념 완료 🚶🏾‍♂️

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* 썸네일 출처) https://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution

* 출처1) https://blog.naver.com/mykepzzang/220855136935

* 출처2) https://www.youtube.com/watch?v=G_RDxAZJ-ug