Cramer's Rule (+exercise)

👨‍🍳 경제수학에서도 본 적 있는, 실제 1차 연립방정식이 주어지면 여러 해들을 매우 간단하게 구할 수 있는, 강력한 Rule! Cramer's Rule에 대해 알아보ZA

definition & proof>

👨‍🍳 주어진 1차 연립방정식>

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2$

      :

$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n$

 

👨‍🍳 '다음 1차 연립방정식의 계수행렬을 행렬 A라 할 때, 행렬 A가 |A| ≠ 0이면, 다음 연립방정식은 오직 하나의 해를 갖고 그 해는 $x_1 = \cfrac{|A_1|}{|A|}, x_2 = \cfrac{|A_2|}{A}, ... , x_n = \cfrac{|A_n|}{A} $을 가진다. (여기서 행렬 $A_i$는 행렬 A의 i열의 원소를 상수행렬 B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\.\\.\\b_n\end{pmatrix}로 바꾼 것이다.)

(계수 determinant A가 0이라는 건 무수히 많은 해를 갖거나 해가 없는 경우 중 하나)

 

✍️ Cramer's Rule 증명하기!

 

👨‍🍳 행렬 $A_i$ = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & b_1 & ... & a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&b_2&...&a_{2n}\\:&:&:&:&:&:\\a_{n1}&a_{n2}&...&b_{n}&...&a_{nn}\end{pmatrix} i열을 기준으로 $|A_i|$를 구해보면

 

★ 여기서, 어떤 행렬의 determinant는 어떤 행렬의 원소와 그 원소에 대응하는 여인수를 곱한 것임을 이용하자

 

★ 따라서, b 원소가 정렬된 i열을 기준으로 여인수를 정렬해보면,

 

$|A_i| = b_1C_{1i} + b_2C_{2i} + b_3C_{3i} + ... + b_nC_{ni} $

 

★ b_n은 곧 1차 연립방정식에서 각 방정식의 결과이므로 치환하여 대입하면

 

$=(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1i}x_i + ... + a_{1n}x_n)C_{1i} + ... + (a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{ni}x_i + ... + a_{nn}x_n)C_{ni}$

 

★ $x_1, x_2, .. x_n$에 관해 다시 정리해보면

 

$=(a_{11}C_{1i} + a_{21}C_{2i} + .. + a_{n1}C_{ni})x_1 + (a_{21}C_{1i} + a_{22}C_{2i} + .. + a_{n2}C_{ni})x_2 + .. + (a_{1n}C_{1i} + a_{2n}C_{2i} + .. + a_{nn}C{ni})x_n $

 

★ A*adj(A)식에서 행렬 A와 수반행렬 A끼리 곱을 할 때 일치하는 n번째행과 n번째열끼리만 곱해지고 나머지 행과 열의 곱은 모두 0이 된다는 성질을 이용!

→ 즉 $C_{ni}$가 들어간 식에서 i번째 $x_n$이 들어간 항만 남고 나머지는 모두 0이 됨!

 

★ $|A_i| = (a_{1i}C_{1i} + a_{2i}C_{2i} + ... + a_{ni}C_{ni})x_i$

 

★ $a_{1i}C_{1i} + a_{2i}C_{2i} + ... + a_{ni}C_{ni} = |A|$이므로

 

★ $|A_i| = |A|x_i$

 

★ 결국 구하고자 하는 해 $x_i$는 $\cfrac{|A_i|}{|A|}$이다

 

★ 분모가 0이 아니어야 $x_i$가 존재하므로 $|A|$가 0이 아니면 주어진 연립방정식은 오직 하나의 해를 가짐과 필요충분조건이다!

exercise>

Q. cramer's rule을 사용하여 아래 equation의 x1, x2, x3의 값을 구해보자

 

$2x + y - z = 1$

$3x + 2y + 2z = 13$

$4x - 2y + 3z = 9$

 

A.

① determinant $|A|$구하기 → 2(6+4) - 1(1) -(-14) = 33 = D

② 각 x별 $|A_1|$, $|A_2|$, $|A_3|$ 구하기

→ 각각 구해보면 $|A_1| = D_x = 33, |A_2| = D_y = 66, |A_3| = D_z = 99$

($|A_n|$을 구할 때 n열 대신 상수행렬 B를 대체한 행렬에서 determinant를 구하면 된다)

③ 최종적으로 $x = \cfrac{D_x}{D} = 1, y = \cfrac{D_y}{D} = 2, z = \cfrac{D_z}{D} = 3$

 

- Cramer's rule을 통해 determinant만으로도 간단히 해를 구할 수 있다! 👏 -

 

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* 출처1) 3x3 system 해 구하기 https://www.youtube.com/watch?v=Ot87qLTODdQ 

* 출처) 여인수 http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/%EC%97%AC%EC%9D%B8%EC%88%98%2Ccofactor

* 출처2) cramer's rule 정리 https://www.youtube.com/watch?v=qflx_XSmh0Y